Obrechkoff方法在求解常微分方程振荡、刚性问题中的应用研究
由于常微分方程本身的重要性以及在不同领域的广泛应用，贯穿整个20世纪，常微分方程的数值求解研究得到了巨大的发展。特别是，随着计算机性能的快速提高，一些著名数学软件的不断深化发展，更多的新思想得以实现，更多的复杂方法涌现出来，常微分方程数值求解以及数值方法发展研究的领域有不断深化扩大的趋势。计算机的数值计算功能对物理学中常微分方程研究的用途不仅仅是可以得到数值结果，更为重要的是，它为物理学家提供了“计算机模拟实验”这个新的研究手段。有了计算机数值计算这个强有力的工具，我们将目光投向物理领域中一些较为复杂的常微分方程(非线性Duffing方程，周期性振荡方程以及刚性方程)的数值求解与相应数值方法的研究。在物理领域中，常常可以遇到一些应用很是广泛的常微分方程，例如薛定锷方程、非线性Duffing方程、天体轨道方程以及刚性方程等。这些方程多为一阶或二阶的常微分方程，形式简单，却很少能得到解析解。即使数值求解也往往存在着求解精度不高或因方程本身性质特殊造成数值方法求解结果不尽理想。在这些问题中具有代表性的有两类问题：周期性振荡问题与刚性问题。在本论文中，我们主要集中于这两类问题相应的数值方法研究做出探讨。对于周期性振荡问题，我们主要关注二阶常微分方程y"(x)+ω2y(x)=f(x，y)，y'(0)=y'0，y(0)=y0这类方程的近似解析解中常包含cos(ωx)、sin(ωx)或eiωx等周期性函数。鉴于其周期振荡性质，往往造成数值方法求解困难，结果出现不稳定，甚至发散。我们研究发现对于具有周期振荡性质的问题必须有匹配的数值方法，即数值方法也需具有周期振荡性质。否则即使原本精度很高的方法，如果与所求解问题的性质不匹配，数值求解的结果也往往是不理想，甚至得到发散的结果。反之，如果数值方法与问题匹配但精度不够，同样也不能得到满意的结果。为此，我们从两方面出发研究针对周期性振荡问题的数值方法。第一个方面，利用高阶微商构建特殊结构线性四步高精度数值方法。由于受到计算机发展的限制，早期高阶微商的计算往往过于复杂而少有在多步方法上应用。我们在这里做出突破，将高阶微商与多步方法结合；同时结构特殊兼有显式与隐式特点，在得到高精度方法的同时又避免了过于繁琐的计算工作量。
第二个方面，为了使线性四步方法与周期性振荡问题性质匹配。我们从针对周期振荡问题的P稳定理论出发，突破P稳定理论对线性多步方法的步数限制(两步)，发展了具有较大稳定区域的参数调控的四步Obrechkoff方法，并进一步发展了完全稳定的P稳定四步Obrechkoff方法。
这两种方法突破了线性多步方法在与周期性振荡问题稳定匹配方面局限，而且结构上也异于传统上对数值方法显式与隐式的判断，从数值方法层面做出了突破。
对于刚性问题，我们主要讨论解析解中含有多个指数形式(e-αx，e-βx，α，β为正实数)的常微分方程。
y'(x)=f(x，y)，y'(0)=y0，y(0)=y0由于不同指数部分衰减速度有很大差异，造成传统Taylor级数方法求解步长限制很大，效率极为低下。与周期振荡问题相似，对于刚性问题存在绝对稳定(A稳定)的理论。按照A稳定的限制要求，我们发展了单步A稳定Obrechkoff方法，充分利用高阶微商达到高精度，并首次将Obrechkoff方法应用于刚性问题。在与针对刚性问题的其他数值方法的比较过程中，无论是稳定性还是精度Obrechkoff方法都显示出了明显的优势。
Obrechkoff方法;四步方法;单步方法;P稳定;A稳定
上海大学
博士
无线电物理
汪仲诚
2005
中文
O45;O175.1
149
2007-06-11（万方平台首次上网日期，不代表论文的发表时间）