混沌系统中的不稳定周期解
本论文运用泰勒展开，将动力系统离散化，对该离散系统进行数值模拟，得到伪周期解，再用最速下降法对结果进行优化，得到系统的周期解，其中我们发现了周期加倍现象等有趣的数值结果，该结果体现了动力系统走向混沌之路的丰富遍历特性。 本文针对Lorenz系统和Duffing系统进行探求周期解，现以Lorenz系统为例阐述核心思想，按如下三项主要工作进行展开。 第一步是对系统进行离散化，将连续的Lorenz系统变成离散的动力系统，这里我们采取的措施是经典的泰勒展开方法，对于Lorenz系统{x''=σ(y-x)y''=-xz+rx-yz''=xy-bz展开到三阶，得到了Lorenz系统的对应迭代形式{xn+1=xn+x''n△t+1/2x"n△t2+1/6xmn△t3yn+1=yn+y''n△t+1/2y"n△t2+1/6ymn△t3zn+1=zn+z''n△t+1/2z"n△t2+1/6zmn△t3 第二步是通过第一步得到的迭代形式，我们赋予在一定范围内的初值，对其进行迭代，如果通过迭代得到的某一个值满足我们提出的条件，那么我们就将这个初值通过迭代得到的一系列点统合为一个向量(x1，y1，z1，x2，y2，z2，…，xn，yn，zn）T这个向量将会作为我们得到的一个伪周期解。 第三步是针对伪周期解进行优化，首先给出限定条件，构造一个关于伪周期解的目标函数，然后选择一种优化方法对其进行优化，本文我们选择的方法是最速下降法，用最速下降法对伪周期解进行优化，直到目标函数的值满足我们的条件时停止，我们将这个通过优化得到的新的伪周期解当作周期解。 经过以上三个步骤，我们完成了对周期解的求解，与其他方法相比，我们所采用的方法稳定性更高，适用性更强。 通过上述这个方法，我们使用计算机进行计算，得到了Lorenz系统周期解中的朴素周期解、超大周期解和成倍周期解的数据，验证了倍周期分岔这一产生混沌的依据，有助于我们研究混沌，该结果体现了系统走向混沌之路的丰富遍历特性。
混沌系统;不稳定周期解;最速下降法;倍周期分岔;限定条件
北京化工大学
硕士
数学
李威
2018
中文
O175;O415.5
2023-07-10（万方平台首次上网日期，不代表论文的发表时间）