图的两类距离指标的研究
图论不变量，是从图到实数集合的一个特殊映射，其需要满足在图同构意义下的取值相等。其中基于顶点间距离的图论不变量在生物、化学、物理领域都有着广泛的实际应用，同时作为一种拓扑指标，这些图论不变量的相关数学性质也已经得到学者们的广泛关注。 图论不变量的种类有很多，本文着重研究了其中两类:离心距离指标和度Kirchhoff指标。离心距离指标是Gupta、Singh和Madan在2002年为了更好地对化合物的化学物理性质进行合理预测而构造的一种基于顶点间距离的全新图论不变量。对于任意简单连通图G，定义图G的离心距离指标为:ξd(G)=∑u，v∈V(G）(εG(u)+εG(v))dG(u，v)，其中εG(u)和εG(v)表示顶点u和v在图G中到其他顶点的最大距离，dG(u，v)表示在图G中顶点u和v之间最短路的长度。度Kirchhoff指标是Chen和Zhang于2007年在对图的阻尼距离进行深入研究时所构造的一种基于顶点间阻尼距离的图论不变量。对于任意简单连通图G，定义图G的度Kirchhoff指标为:S'(G)=∑u，v∈V(G)dG(u)dG(v)RG(u，v),其中dG（u）和dG(v)分别表示顶点u和v在图G中的度数，RG(u，v)表示在图G中顶点u和v之间的阻尼距离。 本文主要是对这两种图论不变量在特殊图下的极值进行研究。对于任意简单连通图G，令n:=|V(G)|，m:=|E(G)|。图G为双圈图，当且仅当图G满足m=n+1;图G为三圈图，当且仅当图G满足m=n+2;图G为仙人掌图，当且仅当图G中的任意两个圈之间至多存在一个公共顶点。这三类结构特殊的图在图论中普遍存在，对其图论不变量的研究具有非常重要的意义。 前人已经对离心距离指标和度Kirchhoff指标在特殊图下的数学性质进行了广泛研究，并得到了大量相关结论。本文在前人的研究基础上，结合双圈图、三圈图和仙人掌图的特殊图型结构，充分利用移边变换，最终求解出具有最小离心距离指标的双圈图、三圈图和仙人掌图;并对双圈图的最大和第二大度Kirchhoff指标进行了完整刻画。
图论;离心距离指标;度Kirchhoff指标;不变量
北京化工大学
硕士
数学
涂建华
2018
中文
O157.5
55
2018-09-18（万方平台首次上网日期，不代表论文的发表时间）