动力系统方法解决不适定问题
近几十年来,数学物理反问题的学科发展十分迅速。该学科的发展,很大程度上受其他学科和众多工程技术领域的应用中所产生的迫切需求所驱动。数学物理反问题现在已不再单纯的是数学和物理中的反问题,由于科学技术的发展和研究范围的扩大,地质、图象、遥感、石油勘探、医学、金融、经济乃至生命科学都提出了由“结果”(观测)探求“因为”(待反演参数)的反问题。因而,反问题具有涉及面广,内容丰富,跨行业,跨学科等特点。从反问题的研究方法来看,它更多应用到了计算数学、应用数学和统计学的知识,可以说数学的理论与方法是反问题研究的基础。在科学发展史上,反问题代表了最活跃和令人振奋的交叉学科之一。
绝大多数的反问题都是不适定的。
解决不适定问题的方法有很多。本文主要利用动力系统方法解决第一类不适定的算子方程。根据算子的性质,将该类方程分为线性的和非线性的,并分别加以讨论。
对于线性的算子方程,可写为Au=f,其中A是实Hilbert空间日上的一个线性算子。利用动力系统方法和正则化方法,求解上述问题的正则化问题的解:u'(t)=-A*(Au(t)-f) 利用线性算子半群理论可以得到上述正则化问题的解的半群表示,并证明了当t→∞时,所得的正则化解收敛于原问题的解。
对于非线性的算子方程,可写为F(x)=y,其中F:D(F)()X→Y是非线性的可微算子,X,Y为 Hilbert空间,算子F的Frechet导数F'(u)局部一致有界。利用动力系统方法和正则化方法,求解上述问题的正则化问题的解:u'(t)=F'(u(t))*(yδ-F(u(t))),t≥0,u(0)=x0。
由于非线性的方程并不能直接求出正则化解,故需将其离散化,变形为指数Euler格式:
un+1=un+hn()(-hnJ(un)))F'(un)*(yδ-F(un))。
其中J(u)=F'(u)*F'(u),()=e。
并证明了当n→∞时,所得的正则化解收敛于原问题的解。
反问题;动力系统方法;正则化;算子半群;非线性方程
北京化工大学
硕士
应用数学
吴开谡
2011
中文
O193;O175.3
46
2011-08-24（万方平台首次上网日期，不代表论文的发表时间）