交错网格有限差分三维大地电磁场正演计算
大地电磁测深法自从50年代被提出以来，其理论和实践都得到了很大的发
展。从早期的一维模型，到后来的二维模型，理论研究一步步深入。与计算机技
术的发展、仪器设备的改进、理论研究(包括数据采集、处理，正演、反演等)
的深入同步，MT的应用范围在不断扩大。在我国，与地震勘探配合，MT广泛
地用于寻找含油气有利构造。此外，在地震工作困难的山区，地震勘探难以得到
中、深层资料的南方碳酸盐岩区以及其它区域MT都发挥过重要作用。总之，
MT已经成为了解地球深部信息的一种主要手段。
大地电磁测深法今后所面临的地形地表条件将更为复杂和困难，需要解决的
地质问题将更为复杂，精度也需要进一步提高。这就需要对大地电磁法的仪器设
备进一步改进，数据采集、处理、解释方法进一步提高。其中，解释方法主要依
赖于正反演技术，而正演技术的理论方法又是其中的基础和关键。显而易见，对
于地球来说，一维和二维模型只是一种理想化和简化，我们所面临的实际问题都
是三维的，要想提高资料的解释精度，需要研究三维正反演问题。
在广泛搜集和总结当今国内外三维MT正演方法技术资料的基础上，受电器
工程领域广泛成功应用的时域有限差分法的启发，作者从Maxwell方程的微分形
式出发，推导了频率域三维介质中交错网格上的差分方程；并将其和R．Mackie
[1993,1994]等从积分形式的Maxwell推导的差分方程相比较。对比发现，从两
种形式的Maxwell方程推导出的差分方程形式有所不同，但是实质上是一致的。
求解差分方程中关键的一步是如何得到和给定边界条件。受二维电磁场计算
时应用一维电磁场值作为边界条件的启发，本文首次将二维有限元方法计算的边
界条件值应用于三维交错网格有限差分方程计算之中。为了得到高精度的二维边
界条件值，作者从一般形式的偏微分方程出发，按照标准的有限元步骤，推导了
三角形剖分二维有限元大地电磁场求解的详细过程。在这个过程中，重点是推导
大地电磁场满足的泛函在线性插值和二次插值三角形单元和边界的面积分和线
积分。
本文对已有的二维有限元法进行了三个方面的改进。一是前处理，也就是自
动剖分。在尽可能简单的输入和人工干预下，正确地完成剖分并提供全局最优编
码。二是以三角形单元代替常见的矩形网格以便更好地拟合复杂边界从而提高精
度。三是插值函数的选择。本文将线性插值和二次插值进行了对比研究，并分别
编写了计算程序，结果显示，对一维模型，即使是简单粗略的剖分，线性插值也
可以达到很高的精度。二次插值的优势主要体现在复杂模型计算方面。对比研究
表明，本文的三角形有限元解较已知的矩形有限元解在精度上提高了约5～10
个百分点。第二，本文将上述高精度的有限元解作为三维电磁场正演的边界条件。
三维计算时的剖分网格是矩形块：二维计算时剖分是三角形。如何让二维计
算结果作为三维正演的边界条件呢？本文的做法是采用直角三角形剖分，使直角
三角形的两条直角边与矩形的两边重合。在由磁场分量求导得出电场分量的过程
中，在电性界面不连续处，电场的法向分量也不连续，此时需要将界面两边的电
场分量取平均值。
大地电磁测深研究的对象是地球，所用的计算模型往往是很大的，而计算机
内存和速度都是有限的。不等距网格剖分是目前解决这一问题的办法之一。另外，
MT最终成果是地面阻抗和视电阻率，这需要地面电磁场值。参考前人的成果，
本文给出了不等距网格剖分和地表电磁场的处理方法。
解大型稀疏对称线性方程组有许多方法，如LDLT法、超松弛迭代法、共轭梯
度法等等。寻找一种解大型稀疏对称复系数线性方程组的方法是三维电磁场计算
的又一关键。通过试验，共轭梯度法是一种较理想的选择。但是一般共轭梯度法
要求系数矩阵是Hermitian阵，但本文得到的系数矩阵虽然是对称的，但因为主
对角线元素是复数，因此是非Hermitian阵。这种情况下，可以采用双共轭梯度
法求解，计算表明，双共轭梯度法的目标函数虽然不是单调递减的(而传统共轭
梯度法的目标函数是单调递减的)，但是其收敛速度却较传统共轭梯度法快2-3
倍。
无论是三维有限元法或三维有限差分法，在一定的情况下都会产生伪解。研
究表明，当频率或电导率趋近于零时，传导电流场和磁场满足零散度条件。伪解
就是这样一种解，它满足迭代过程中给定的残差，但是传导电流场和磁场的散度
却不为零。为此可以根据电流场和磁场的保守性进行散度改正。
三维电磁场计算对计算机硬件要求极高。虽然本课题组有很好的条件(如Sun
Macrosystems U60工作站)，但是也只能对较简单的模型进行计算。本文给出了
几个模型计算结果，表明本文的计算结果达到了较理想的精度。作者确信，如果
计算机硬件允许，在更细致的网格剖分下，计算精度还可以进一步提高。
本文选取了一个典型工区，将本文的交错网格三维有限差分法应用于实际资
料处理，取得了虽然是初步的然而却是合理的结果。
关键词 交错网格，有限差分，大地电磁场，双共轭梯度法，散度改正
同济大学;同济大学海洋与地球科学学院
博士
固体地球物理学
王家林
2003
中文
P318.1
91
2010-06-30（万方平台首次上网日期，不代表论文的发表时间）