准差族的存在性
2001年,丁存生等引入了(q,k,λ,t)-准差集(简记为(q,k,λ,t)-ADS),其中q,k,λ,t均为正整数.循环(q,k,λ,t)-ADS的特征序列及其位移可以构成一类具有最优自正交性的二元序列,在通讯以及流密码方面有广泛应用.准差族可以看做是对准差集和差族概念的推广.丁存生等提出了(q,k,λ,t)-准差族(简记为(q,k,λ,t)-ADF)概念,并利用有限域给出了一些准差族构造及存在性判定定理.设G是q阶Abel群,K为正整数集,F={Di：1≤i≤h}是G的h个子集组成的集合,其中Di={di1,di2,…,diki}是G的ki元子集,ki∈K,1≤i≤h.令△Di={a-b：a,b∈Di,a≠6},1≤i≤h,△F=U1≤i≤h△Di.若G中t个非零元在△F中出现λ次,其余q-1-t个非零元在△F中出现λ+1次,则称F为G上的(q,k,λ,t)-准差族(Almost Difference Family),记为(q,k,λ,t)-ADF.当G=Zq为q阶循环群时,F叫做循环(q,k,λ,t)-准差族(Cyclic AlmostDifference Family).定义G中两个多重集合A和B的乘积为AoB={ab：a∈A,b∈B}.若其中B={b},则简记为Ab={ab：a∈A}.设D是G中k元集合,则一定存在D(？)G,使得△D={1,-1)oD.D的概念将要在下面用到.丁存生等给出了准差族的以下构造方法.定理1.6假设q≡1(mod 2e)是一个奇素数,3≤k≤q是一个整数.令λ=[k(k-1)/2e]且2r=k(k-1)-2λe.如果存在G中k元组D,使得D在G的r个e次分圆类中覆盖λ+1个元素(重复元素按重复次数计算),且在其余e-r个分圆类中覆盖λ个元素,则F={Dg：g∈U}是G上的循环(q,k,λ,t)-ADF,其中t=(q-1)(e-r)/e,U是{1,-1}在C0e中的乘法陪集代表元组成的集合.在以往差族存在性定理的证明中,常用到乘法特征和上的Weil定理,常彦勋等给出了以下结果：定理1.10设q是一个素数,q≡1(mod e)且q-[∑r=0s-2(？)(s-r-1)(e-1)s-r](？)-ses-1>；0.则对任意给定的s-序列(i1,i2,…,is)∈{0,1,…,e-1}s,以及(c1,c2,…,cs),其中c1,c2,…,cs是G中两两不同的元素,必定存在x∈G*,使得对每一个r都有x+c(？)∈Ci(？)e.本文中,为了得到本文主要结果,我们将以上定理推广到如下形式.定理1.11设q是一个素数,q≡1(mod e)且q-[∑r=0s-2(？)(s-r-1)(e-1)s-r+∑u=0w-1(？)(2w-2u-1)(e-1)w-u+∑r=0s-2∑u=0w-1(？)(s+2w-r-2u-1)(e-1)s+w-r-u](？)-swes+w-1>；0.则对任意给定的s-序列(i1,i2,…,is)∈{0,1,…,e-1}s,w-序列(h1,h2,…,hw)∈{0,1,…,e-1}w,以及s-序列(c1,c2,…,cs),其中c1,c2,…,cs是G中两两不同的元素,必定存在x∈G*,使得x+c(？)∈Ci(？)e,1≤r≤s,x2+aux+bu∈Chue,其中x2+aux+bu是G[x]中的不可约多项式,1≤u≤w.利用定理1.6,分圆数,定理1.11及计算机搜索,本文得到以下结果.定理1.12假设q≡1(mod 8)是一个奇素数,则存在G上的循环(q,4,1,(q-1)/2)-ADF.定理1.13假设q=6f+1是一个奇素数,则存在G上的循环(q,5,3,2(q-1)/3)-ADF.定理1.14假设q≡1(mod 8)是一个奇素数,则存在G上的循环(q,5,2,(g-1)/2)-ADF.定理1.15若q≡1(mod 10)是奇素数,则存在G上的循环(q,4,1,4(q-1)/5)-ADF.定理1.16若q≡1(mod 12)是奇素数,则存在G上的循环(q,5,1,(q-1)/3)-ADF.定理1.17若q≡1(mod 16)是奇素数,则存在G上的循环(q,5,1,3(q-1)/4)-ADF.定理1.18若q≡1(mod 18)是奇素数,则存在G上的循环(q,5,1,8(q-1)/9)-ADF.定理1.19若q≡1(mod 8)是奇素数,则存在G上的循环(q,6,3,(q-1)/4)-ADF.定理1.20若q=12t+1是奇素数,且t(？)0(mod 3),则存在G上的循环(q,6,2,(q-1)/2)-ADF.定理1.21若q=18t+1是奇素数,且t(？)0(mod 3),则存在G上的循环(q,6,1,(q-1)/3)-ADF.定理1.22若q=24t+1是奇素数,且t(？)0(mod 3),则存在G上的循环(q,6,1,3(q-1)/4)-ADF.本文分为五章,第一章以及第二章主要介绍和本文关系密切的概念和定理.第三,四章证明了部分准差族的存在性.第五章为小结及有待进一步研究的问题.
差族;准差族;分圆数;特征和;Weil定理
广西师范大学
硕士
基础数学
吴佃华
2010
中文
O157.2
2014-05-29（万方平台首次上网日期，不代表论文的发表时间）