共形Hamilton系统的若干保结构算法研究
保结构算法是微分方程数值算法的重要研究方向之一，其目的是构造数值积分保持连续系统的相应特征。一切真实的、耗散可忽略不计的物理过程都可以表示成Hamilton系统，它在自然界中有着非常广泛的应用。然而经典力学中研究的大部分系统都不是保守系统，所以很难将这类系统表示为经典的Hamilton力学形式以及最小作用量变分原理形式或者与此等效的Lagrange力学形式，极大地限制了保结构算法在耗散系统中的应用。本文对带线性耗散的Hamilton系统进行数值研究，构造了一系列共形保结构算法，并给出了这些算法的离散守恒性质。主要工作包括： 1.对一般带线性耗散项的多辛Hamilton系统，在Lie分裂的基础上，时间方向上采用平均向量场方法，空间方向采用隐式中点方法，得到保局部共形能量方法；时间方向上采用隐式中点方法，空间方向上采用平均向量场方法，得到保局部共形动量方法。证明了两种方法分别保持离散的局部共形能量守恒律和局部共形动量守恒律。在适当的边界条件下，保局部共形动量方法还满足相应的全局共形动量守恒律，也就是保持全局动量的衰减速度。通过对带线性耗散的Schr?dinger方程的数值试验，表明了所提的保局部动量方法能够清晰的模拟孤立波的传播与碰撞，具有长时间的数值模拟能力，相较于一般传统的保结构算法，在保持全局动量的衰减速度上具有更大的优势。 2.针对带线性耗散的耦合Schr?dinger方程，在共形多辛Hamilton系统框架下，利用Lie分裂技巧和隐式中点方法，构造出了共形多辛Preissman格式和保局部共形动量格式。证明了这两种格式分别保持离散共形多辛守恒律和局部共形动量守恒律的同时，还保持局部共形电荷守恒律。在适当的边界条件下，它们还保持全局电荷的衰减速度。数值试验结果表明，所提算法长时间模拟的有效性和共形守恒性。 3.对耗散的Klein–Gordon方程，利用Strang分裂方法。在无穷维共形Hamilton系统框架下，时间上采用隐式中点格式，空间采用小波配点法，构造了共形辛小波配点格式，并证明该格式满足离散全局共形辛守恒律。在共形多辛Hamilton系统框架下，时空方向均采用隐式中点格式，构造了新的共形Preissman格式，并证明了该格式不仅满足离散的共形多辛守恒律和局部共形动量守恒律，还满足由线性对称性导出的共形守恒律。数值试验结果表明，所提算法的长时间模拟性和共形守恒性。 4.基于耗散的Schr?dinger方程的一些共形守恒律，利用Strang分裂方法，构造了一种高阶紧致共形多辛方法、一种保局部共形动量方法和一种分裂共形多辛Fourier拟谱方法。证明了这三种方法分别保持相应的局部共形守恒律，而且在适当的边界条件下，还满足全局共形守恒律。通过明/暗孤立子的数值试验，表明了所提方法能够清晰的模拟明/暗孤立子的碰撞，验证了共形守恒性。
共形Hamilton系统;共形保结构算法;Strang分裂方法;耗散Schrodinger方程
国防科学技术大学
博士
数学
宋松和;洪佳林
2018
中文
O241.8
2020-04-22（万方平台首次上网日期，不代表论文的发表时间）