线性极限与单项特征标
借助E.C.Dade和M. Loukaki在2004年创立的特征标线性极限的理论和技术,本文主要研究了下述关于M-群的三个著名难题: 1.Dornhoff的正规单项性猜想:任意M-群的正规子群是否总是M-群; 2.Dornhoff的Hall单项性猜想:任意M-群的Hall子群是否总是M-群; 3.Lewis的本原特征标次数问题:M-群的极大子群的指数如何控制该子群的本原特征标的次数. 为了同时处理上述三个难题,我们首先对线性极限的理论做了一些改进,获得了关于特殊类型的可解群是否为M-群的若干有效判据,并用之来探讨上述Dornhoff的两个单项性猜想和Lewis本原特征标问题. 本文第一个主要结果研究了比Sylow塔群更为广泛的一类可解群,获得了该类群是否为M-群的有效判别方法,其中(M)-群的定义是每个子群均为M-群,而(L)-群的定义以及符号.∝均来源于线性极限理论,见$2.1. 定理A.设G为有限群,有一个正规列:1=G0≤G1≤…≤Gn=G,并满足以下三个条件: (a) |Gi/Gi-1|两两互素,i=1…,n; (b) Gi/Gi-1是(L)-群,i=1,…,n-1; (c)G/Gn-1是(M)-群. 则以下令题等价: (1)G为M-群. (2)Gi∝G,i=1,…,n. (3) Gn-1∝G. 作为应用,本文就该类群证明了Dornhoff的两个猜想. 定理B.假设定理A的条件成立,并且G为M-群,则下述结论成立. (1)G的每个正规子群均是M-群. (2)再进一步假设n=3,即G=G3,并且G1和G2/G1均为幂零群,则G的每个Hall子群也均为M-群. 本文第二个主要结果研究了一类可解群的超可解剩余,据此获得了一类群何时为M-群的充要条件. 定理C.设G为有限群,并假设L≤K均为G的正规子群,且满足以下三个条件: (a) G/K超可解,K/L幂零,L有一个正规列:1=L0≤L1≤…≤Ln=L,使得Li/Li-1,i-1,…,n为阶两两互素的交换群; (b) (|L|,|K/L|) = 1; (c) |K/L|与|G/K|至少一个为奇数. 则以下三条等价: (1)G为M-群. (2)对任意ψ∈Irr(L),均有G(ψ)/L为M-群. (3) K∝G. 作为定理C的应用,同样就此类群我们也考察了Dornhoff的两个猜想. 定理D.假设定理C的条件成立,若G为M-群,则 (1)G的每个正规子群均为M-群. (2)当L为交换群时,则G的每个Hall子群也均为M-群. 本文第三个主要结果仍然是借助于线性极限,考察了M-群的极大子群的本原特征标,简化并推广了M.L. Lewis定理以及I.M. Isaacs和T.Wilde对该定理的加强.我们给出的推广还包含了更多的结构信息,特别地,给出M-群存在一个极大子群不是M-群的充分条件. 定理E.设G是M-群,则下述成立: (1)如果H是指数为奇数的极大子群,且存在非线性的本原特征标ξ∈Irr(H),则ξ(1)2=|G:H|且ξ是强不可约特征标. (2)G含有一个指数为奇数的极大子群,且该子群有非线性的本原特征标,当且仅当G存在一个强单项特征标. 应该指出的是,定理中的强不可约特征标的概念是R.Brauer在1977年首次提出的,与特征标的乘法分解理论密切相关,也是值得我们在后续研究中做进一步深入探讨的一类特征标.
线性极限;单项特征标;有限群;M-群;正规子群;Hall子群
山西大学
博士
基础数学
靳平
2018
中文
O152.1
2019-01-18（万方平台首次上网日期，不代表论文的发表时间）