非线性方程中的对称和对称约化的新进展
对称性研究在各自然科学领域起着非常重要的作用。虽然在物理学和数学科学各分支研究中，对称性研究发展的相当不错，但是对称性研究仍然是一个很有活力的研究领域。特别是在可积系统研究领域中，由于无穷多对称的存在，对称性研究尤其受到人们的青睐。其中一方面是因为在对称性研究领域中还有许多重要的问题尚待解决，另一方面需要发展一些新的研究方法去研究复杂的非线性问题。
在1+1维可积系统对称性研究中，强对称算子方法是一种最有效的方法，然而这种方法在高维中遇到了很大的阻碍，本论文第一部分内容在回顾了强对称算子的基本方法后，成功地对3+1维Burgers方程建立了强对称算子和逆强对称算子方法并由此给出了该模型的无穷多一般对称和完整的点李对称结构。
在一个非线性系统的对称得到以后，最重要的问题是如何利用对称性去求得相应系统的严格解。传统方法是首先利用对称性求得系统得有限变换，然后根据有限变换得到或做（一次）对称约化以求得群不变解。本论文第二部分内容首先回顾了对称性约化的两种基本方法：Clarkson-Kruskal直接法和经典李群约化方法。然后发展了一种全新的对称性约化方法：循环约化法。在循环约化法中，我们利用一个特殊对称（或特殊解）得到相应的约化解（或对称），然后由约化解（或对称）得到新对称（或新解）。如此反复使用，即可得到无穷多新解和新对称。本文将这种新方法成功地使用到了1+1维Burgers方程和Sharma-Tass-Olver (STO)方程。
给出非线性方程的新类型的严格解一直是非线性科学中的重要问题。利用上述的对称性约化反复使用法，我们得到了1+1维Burgers方程和STO方程的许多新类型的严格解。如对于1+1维Burgers方程，给出了一般的有理解族、有理-扭结解族和两类有理-误差函数解族等。对于STO方程，得到了许多不易得到的特殊的孤子解族和周期波解族，如有理-负子解族、有理-正子解族和有理-复子解族等等。
非线性物理学;李群;非线性方程;对称性
宁波大学
硕士
理论物理
楼森岳
2004
中文
O415
2007-04-29（万方平台首次上网日期，不代表论文的发表时间）